進行中のプロジェクトはたくさんありますが、私自身の（確かに限られた）理解と同じくらい正確な、簡潔なワンライナーでそれらを要約しようと思います。ソリューションは次のとおりです。

1. 古典的な繰り込み：重要なのは予測であり、繰り込みは、私たちが持っている連続体の限界をとる唯一の（明らかに複雑な）方法です。
2. ウィルソン繰り込み：低エネルギー繰り込み理論ではない自明でない理論を構築することは単純に不可能であり、繰り込み不可能な定数は低エネルギー繰り込み理論に影響を与えないものです。
3. 弦理論：この4次元時空全体は、相互作用する2次元時空（弦）の相互作用から構築された幻想です。すべての相互作用は2次元で繰り込み可能であるため、問題は解消されます（ただし、まだ確認されていないコンパクト化された空間のような次元が多数あります）。
4. ループ量子重力：問題は時空の連続体の限界をとることに起因するので、連続体のアイデアを完全に捨てましょう。
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これらのアプローチのどれも特に満足できるものではありません。私自身の傾向は、技術的な変更が最も少ない「より派生的な」アプローチを好むことですが、それは非常に大きな哲学的な変更を必要とします。その哲学的変化の原因は、理論がローレンツ不変であるという要件から生じます。原則として、いくつかの空間導関数を追加することにより、理論を繰り込み可能にするだけでなく、UV有限にすることが可能です。ただし、ローレンツの不変性のため、空間導関数を追加するには、必然的に時間導関数を追加する必要があります。 オストログラドスキーは、古典物理学だけで、2つ以上の導関数が必然的にハミルトニアンに下限がなくなることを示しました（優れた技術概要は、 Woodard（2007） Aに記載されています。 >および Woodard（2015））。

一般に、ハミルトニアンが理論を有限体積の位相空間に制約するものとして機能することが非常に重要であると考えられているため、 QFTに入る公理;要約すると：

1. 時不変の生成元として機能するハミルトニアン（および物理法則の時不変のために保存されたネーター電荷）に対応する演算子が存在します。
2. 時間変換のジェネレータの固有値は正の半確定です（または、下限があります）。
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Källenのコンテンツ— Lehmann 表現（ウィキペディアのリンク。 Weinbergの" The Quantum Theory of Fields "、Vol。I）は、上記の仮定をローレンツ不変性と組み合わせると、必然的に次の逆数で2つ以下の導関数を意味するというものです。プロパゲーター。

OstrogradskyとKällen—Lehmannの組み合わせは優れているように見えますが、「ハミルトニアン=エネルギー」（ここでは、時間変換の生成元として「ハミルトニアン」と「エネルギー」を使用します）を維持することに固執している場合に限ります。 「下限があり、位相空間のフィールドを制限する保存された電荷」の省略形として）。これらの2つの仕事を分割することをいとわないのであれば、高階微分理論の難しさはなくなるのではないかと思います。エネルギー/時間変換の仮定の新しいバージョンは、次のようになります。

1. 時空変換の生成元は保存されています（ハミルトニアン、4元運動量）
2. 前方光円錐の値をとる保存された4元ベクトル演算子が存在します。
3. 1と2の演算子は、低周波数で一致します（古典物理学の対応）。
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この方向の重要な論文は Kaparulin、Lyakhovich、and Sharapov（2014） "Classical and Quantum高階微分ダイナミクスの安定性」（およびそれを引用している論文、特に同じ著者による）は、高階微分セクターを他のセクターに結合した場合にのみ、不安定性がPais-Uhlenbeckオシレーターの問題になることを示しています。特定の方法でセクターを作成し、カップリングを他の方法に制限すると安定します。

そうは言っても、より多くの派生物は万能薬ではありません。たとえば、導関数を追加してゲージ理論の発散を取り除こうとすると、理論が最初と同じように発散するように、常に導関数を追加して交互作用項を追加します。 「その他の導関数」は数学的には Pauli—Villars正則化と同等であることに注意してください。 （PV）プロパゲーターのフーリエ変換の部分分数分解による。 PVは、この問題のためにゲージ理論とうまく機能しないことが知られていますが、ゲージ不変性を維持するために必要なより多くの導関数との高次結合が省略されているため、通常はゲージ不変性に違反していると言われます。

異端がコメントで述べたように、「根本的な」変化は、それが実際にどれほど基本的であると思うかに関係なく、定数の任意の選択としての繰り込みの古い見方からの変化である可能性が高いです。繰り込みスケールが本質的にカットオフを表し、QFTが有効であると見なされるカットオフのくりこみ群の現代のウィルソニアンの概念に不快な発散量を隠すため 効果的な場の理論-繰り込みスケールの表示で2つのビューがどのように異なるかの例については、この私の答えも参照してください。

したがって、根本的な変化は、QFTをすべての基本理論として見ることから、妥当性に固有の制約がある有効場の理論として使用することへの変化として簡単に表現できます。ウィルソンのカットオフによって与えられます。

なぜ何かが変わったと思いますか？QFTを効果的な理論として見ることで繰り込みの性質に関するプレッシャーの一部が軽減されるというACuriousMindの見解には完全に同意しますが、それがディラックが想定していたことではないと思います。

コメントで述べたように、ディラックは本質的に幾何学者でした。少なくとも、宇宙の数学的構造を高く評価した人でした。その意味で、彼は有効場の理論への移行を非常に魅力的だとは思っていなかったと思います。彼は、私たちの宇宙の数学的構造の理解における根本的な変化を含むものとして「基本的な」を意味したと思います。

したがって、私の見解では、彼はその構造を（文字列、ループ、非転流などを介して）変更する試みを必要な根本的な変更と見なしていたでしょう。したがって、その観点から、ディラックが求めていた変更は ありませんでした。まだ取り組んでいます。

そのような根本的な変化が起こったかどうかという質問に関しては、私は「はい」と「いいえ」と言います。はい。ウィルソンの視点は、ちなみに「敷物の下で発散を一掃する」ことではない繰り込みのはるかに明確な図を提供したからです。繰り込み（または繰り込みの欠如）についてのディラックの声明は2017年にはかなり時代遅れになっています。しかし、ウィルソンのRGの開発はまだ進行中であると私は考えているので、私もノーと言いました。これは今ではQFTコースの教科書の資料であることを私は知っていますが、カップリング（およびカットオフ！）がスペースに依存するより一般的な状況では、ウィルソンのRGはまだ理解されていないと思います。私の考えでは、ホログラフィックRGとの関係、そしておそらくAdS / CFTの対応自体を理解した場合にのみ、最終的に勝利を宣言し、「はい、ウィルソンのRGを理解しました」と言うことができます。

Edit：繰り込みが「ストップギャップ手順」またはある種の任意の料理本のレシピであるとまだ考えている人は、ウィルソンの繰り込み可能性の定義に対する私の答えを参照してください。 ウィルソンのフレームワーク内で表示された連続体QFTの繰り込みは、実際には適切な設定であり、美しい数学の問題であることを（願わくば）明確にする必要があります。おそらくディラックのように、BPHZまたはウィルソン-ポルチンスキー繰り込みは、より概念的または幾何学的な説明を待っているパッチであるという考えを楽しませる人もいるかもしれません。私の答えは、この信念とはまったく直交していません。これは、スケールに対応する追加の座標方向$ z $の導入による、RGの一種の幾何化であるホログラフィックRGへの接続について言及するときに私が指摘しようとしたことです。 AdS / CFTの専門家は私が間違っていれば訂正できますが、RGとの接続がこの対応において重要な役割を果たすと考えられていると理解していますが、ウィルソンRGとホログラフィックRGの間の正確な定量的接続はとらえどころのないままです。

ディラックは繰り込みが行われた方法の数学的無意味さに不満を持っていたと思います。

これは因果摂動理論によって変更されました。後者は、開発中にカットオフ（および関連する疑わしい制限）、幾何学的に無意味な非整数次元、または数学的に定義されていない（無限の）量を導入することなく、摂動UV繰り込みを処理する共分散で数学的に非の打ちどころのない方法です。非物理的な裸の量もありません-QEDへの因果的アプローチで発生するパラメータ$ e $と$ m $は、電子電荷（ゼロエネルギー）と電子質量の物理的意味全体にあります。

エネルギーカットオフ$ \ Lambda $の問題は、限界にのみ現れる共分散と因果構造を破壊することです。さらに、（漸近的に自由な理論を除いて）制限$ \ Lambda \ to \ infty $を取ることを禁止するランダウ極などのアーティファクトにつながります。最初から因果関係を説明する共分散アプローチは、後者を回避し、概念的に優れています。また、標準的なアプローチが無限大に関する従来の問題につながる理由も説明します。つまり、分布は注意深く制御された条件下でのみ乗算できるためです。

（因果的アプローチは摂動ですが、くりこみ群をサポートします。これにより、可能なランダウ極の推定値など、RGで強化された摂動理論と同じ非摂動情報が追加されます。ランダウ極はカットオフがランダウ極を通過しなければならないアプローチでのみ建設的に危険であるため、因果的アプローチに存在するボゴリューボフ-シュトゥッケルベルクくりこみ構造にランダウ極が存在する可能性があるとしても、摂動を行うことができるため、まったく影響はありません。くりこみスケール（QEDでは$ E = 0 $でも）未満の固定エネルギーで構築され、有効な摂動理論があります。物理的な結合のみを小さくする必要があります。）

ディラックが因果的アプローチを知っていて、それが標準モデルを含むすべての相対論的QFTに普遍的に適用されるのであれば、パラダイムシフトを要求したとは思わない。ディラックは彼の懸念のこの解決に満足していただろうと私は信じています。いずれにせよ、それは彼の苦情を完全に取り除きます

数が無限大であることが判明した場合、 有限、あなたはあなたに何か問題があることを認めるべきです 方程式、そしてあなたがただによって良い理論を得ることができることを望んでいない その数をドクターアップします。

ファインマンの苦情についても同じことが言えます（ http://www.cgoakley.org/qft/で引用）

私たちがプレイするシェルゲームは...技術的には '繰り込み'。しかし、どんなに賢い言葉でも、それはまだ何ですか 私はディッピープロセスと呼びます！そのようなhocus-pocusに頼らなければならないことは 量子電気力学の理論がそのことを証明するのを妨げました 数学的に一貫性があります。理論が驚くべきことです 今のところ、いずれにせよ自己矛盾がないことがまだ証明されていません。 繰り込みは数学的に正当ではないと思います。

因果摂動理論により、摂動繰り込みは数学的に完全に正当になり、よく理解されています。

彼だけではありません。ファインマンは繰り込みを「ホーカスポカス」とも呼んだ。

繰り込みは、宇宙ガロア群によって記述された優れた数学的構造を持っていることがわかりました：

宇宙ガロア群と呼ばれるものは、場の量子論のくりこみ群の構造に自然に作用する動機付けのガロア群です。実際のくりこみ群は、宇宙ガロア群の1パラメータサブグループです。

くりこみ群が実際には数学的な意味でのグループであるのを見るのは心強いです。

また、QFTでの点粒子の理想化から生じる無限大を回避するために繰り込みが必要であると考えられています。そして、繰り込み自体は、点粒子が弦に置き換えられる摂動弦理論の中で分配されることがわかります。

ブレークスルーは数学から来るはずだと確信しています。特に、実数や複素数を操作するのと同じように、発散積分や級数の値を操作できるようになります。これらの拡大数は、量子力学の複素数と同じように、QFTおよび真空物理学に役立ちます。